Question

【題目】某地空氣中出現污染，須噴灑一定量的去污劑進行處理.據測算，每噴灑個單位的去污劑，空氣中釋放的濃度 （單位：毫克/立方米）隨著時間單位：天）變化的函數關系式，近似為

,若多次噴灑，則某一時刻空氣中的去污劑濃度為每次投放的去污劑在相應時刻所釋放的濃度之和. 由實驗知，當空氣中去污劑的濃度不低于（毫克/立方米）時，它才能起到去污作用.

（1）若一次噴灑個單位的去污劑，則去污時間可達幾天？

（2）若第一次噴灑個單位的去污劑，天后再嗩灑個單位的去污劑，要使接來的天中能夠持續有效去污，試求的最小值（精確到，參考數據: 取）.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）當空氣中去污劑的濃度不低于（毫克/立方米）時，它才能起到去污作用，所以解不等式，分段求解得：當時, 令,解得.當時, 令,解得.所以 ,（2）第一次噴灑個單位的去污劑，天后濃度為，再嗩灑個單位的去污劑，接來的天中濃度為，因此接來的天中總濃度為，其中，由題意要求總濃度最小值不小于4，可根據基本不等式得總濃度最小值為，解不等式，即可得的最小值為.

試題解析：（1）因為一次噴灑個單位的去污劑, 所以空氣中釋放的濃度為,

當時, 令,解得,所以.

當時, 令,解得,所以.于是得,即一次投放個單位的去污劑, 有效去污時間可達天.

（2）設從第一次噴灑起, 經天, 濃度,

因為,而,故當且僅當時, 有最小值為.

令,解得的最小值為.