Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）證明：當時，函數有三個零點.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）求出函數的解析式，求導，分、及解關于導函數的不等式即可得出函數的單調區間；

（2）易知函數的零點就是函數的零點，結合（1）的結論以及零點存在性定理即可得證．

（1），

.

①當時，，

當時，，當時，.

函數的單調遞增區間為，，單調遞減區間為；

②當時，，，則函數在上為增函數；

③當時，，

當，，當，.

函數的單調遞增區間為，，單調遞減區間為；

綜上所述，當時，函數的單調遞增區間為，，單調遞減區間為；

當時，函數的單調遞增區間為，無單調減區間；

當時，函數的單調遞增區間為，，單調遞減區間為；

（2），函數的零點就是函數的零點，

當時，由（1）知函數在，上單調遞增，在上單調遞減.

當時，函數單調遞增，

因為，，

令，

則，

，，函數在上單調遞減，

，

所以，存在，使得，

所以，函數在上有個零點；

當，為減函數，極小值點，且，

所以，函數在有個零點；

當，函數為增函數，

，，

存在，使得，所以函數在有1個零點.

綜上，當時，函數有三個零點，即函數有三個零點.