Question

已知雙曲線C：2x²-y²=2與點P（1，2）.

（1）求過點P（1，2）的直線l的斜率k的取值范圍，使l與C分別有一個交點，兩個交點，沒有交點.

（2）是否存在過P點的弦AB，使AB中點為P？

（3）若Q（1，1），試判斷以Q為中點的弦是否存在？

Answer 1

解：（1）設直線l的方程為y-2=k(x-1)，代入C的方程，并整理得（2-k²）x²+2(k²-2k)x-k²+4k-6=0,（*）

當k=±時，方程組有唯一解.

當k≠±時，由Δ=0，得k=.

所以當k=±或k=或k不存在時，l與C只有一個交點.

如圖，當＜k＜或k＜-或-＜k＜時，l與C有兩個交點.

當k＞時，l與C無交點.

（2）假設以P為中點的弦AB存在，

設A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),

則x₁、x₂是方程（*）的兩個根，

由韋達定理得=1,

解得k=1.

所以這樣的弦存在，方程為y=x+1.

(3)假設弦AB以Q為中點，且A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),

所以2x₁²-y₁²=2,2x₂²-y₂²=2.

兩式相減，得2(x₁+x₂)(x₁-x₂)=(y₁+y₂)(y₁-y₂),

所以2(x₁-x₂)=y₁-y₂.

所以AB的斜率為2，但漸近線斜率為±,結合圖形知直線AB與C無交點.

所以假設不正確，即以Q為中點的弦不存在.