Question

（1）設、是不全為零的實數，試比較與的大小；
（2）設為正數，且，求證：.

Answer 1

(1)；(2)證明見解析．

試題分析：(1)比較兩個數的大小，一般是用作差法，，下面就是確定與0的大小，是一個二次三項式，因此我們可用配方法配方，，由于不全為零，因此，從而有
；另外本題實質是比較與的大小，想到基本不等式，有(時取等號)，而，再討論下等號能否成立即可；(2)這是條件不等式的證明，而且已知與求證式都是對稱式，因此大膽想象等號成立時，各字母應該相等，事實上也正是在時取等號，接下來考慮不等式的證明，關鍵是條件怎么應用，這里我們償試把中的分子的1全部用代換 ，有，把這個分式展開重新分組為，下面易證．
試題解析：（1）解法1：-==      3分
因為、是不全為零的實數，所以，即>。    6分
解法2：當時， ；         2分
當時，作差：；
又因為、是不全為零的實數，所以當時，>。
綜上，>。         6分
（2）證明：當時，取得等號3。         7分
作差比較：


．
所以，          14分