Question

已知函書f（x）=2x²+k|x-1|（k∈R）
（1）若k=-1，求方程f（x）=4的實數解；
（2）若k=6，求函數f（x）的單調區間
（3）若f（x）的最小值是f（1）=2，求k的范圍．

Answer 1

分析：（1）若k=-1，則方程f（x）=4即為：2x²-|x-1|=4，再將絕對值符號化去，分類討論，解方程即可；
（2）若k=6，將函數化簡，f（x）=2x²+6|x-1|=

2x2+6x-6，x≥1 2x2-6x+6，x＜1

，分別利用配方法，即可得到函數的單調減區間為（-∞，1），函數的單調增區間為[1，+∞）；
（3）由（2）分析知，函數在（-∞，1）上為單調減函數；函數在[1，+∞）上為單調增函數，將函數化簡f（x）=2x²+k|x-1|=

2x2+kx-k，x≥1 2x2-kx+k，x＜1

，根據函數的單調性可得-

k

4

≤1且

k

4

≥1，從而可求k的范圍．

解答：解：（1）若k=-1，則方程f（x）=4即為：2x²-|x-1|=4
當x≥1時，方程可化為（x+1）（2x-3）=0，∴x=

3

2

；
當x＜1時，方程可化為2x²+x-5=0，∴x=

-1- 41

4

（2）若k=6，則函數f（x）=2x²+6|x-1|=

2x2+6x-6，x≥1 2x2-6x+6，x＜1

∵2x2+6x-6=2(x+

3

2

)2-

21

2

，∴函數在[1，+∞）上為單調增函數；
∵2x2-6x+6=2(x-

3

2

)2+

3

2

，∴函數在（-∞，1）上為單調減函數；
∴k=6時，函數的單調減區間為（-∞，1），函數的單調增區間為[1，+∞）
（3）由（2）分析知，函數在（-∞，1）上為單調減函數；函數在[1，+∞）上為單調增函數
∵f（x）=2x²+k|x-1|=

2x2+kx-k，x≥1 2x2-kx+k，x＜1

∴-

k

4

≤1且

k

4

≥1
∴k≥4

點評：本題以二次函數為載體，考查方程的解，函數的單調區間，考查解不等式，解題的關鍵是利用零點將絕對值符號化去，從而利用二次函數的性質解題．