Question

如圖，橢圓的中心為原點O，已知右準線l的方程為x=4，右焦點F到它的距離為2．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設圓C經過點F，且被直線l截得的弦長為4，求使OC長最小時圓C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）假設橢圓的標準方程，利用右準線l的方程為x=4，右焦點F到它的距離為2，即可確定幾何量，從而可求橢圓的標準方程；
（2）計算圓的標準方程，利用圓C經過點F，且被直線l截得的弦長為4，可確定圓心坐標之間的關系，進而可求使OC長最小時圓C的方程．
解答：解：（1）設橢圓的標準方程為（a＞b＞0）．
由題意可得，…（2分）
解得a=2，c=2．…（4分）
從而b²=a²-c²=4．
所以橢圓的標準方程為．…（6分）
（2）設圓C的方程為（x-m）²+（y-n）²=r²，r＞0．
由圓C經過點F（2，0），得（2-m）²+n²=r²，①…（7分）
由圓C被l截得的弦長為4，得|4-m|²+（）²=r²，②…（8分）
聯立①②，消去r得：n²=16-4m．…（10分）
所以|OC|===．…（12分）
∵n²≥0，∴m≤4，
∴當m=2時，|OC|有最小值2．…（14分）
此時n=±2，r=2，故所求圓C的方程為（x-2）²+（y±2）²=8．…（16分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的幾何性質，考查圓的標準方程，考查圓中弦長問題，解題的關鍵是利用待定系數法，充分利用橢圓、圓的性質．