Question

如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，點O是對角線與的交點,是的中點,.

(1) 求證：平面;

(2) 平面平面;

(3) 當四棱錐的體積等于時,求的長.

 

Answer 1

【答案】

(1)答案見解析

(2)答案見解析

(3)PB=

【解析】試題分析：(I)利用線面平行的判定定理只要證OM//PB即可.

（II）根據面面垂直的判定定理只要證：即可，因為,只要證：.

(III)因為底面積易求，利用棱錐的體積公式,可求出高PA，再在直角三角形PAB中，利用勾股定理求出PB的值.

解：(1)在中，、分別是、的中點,

是的中位線，

，            …………1分

平面，平面，……3分

平面.              …………4分

(2)  底面是菱形,

，                  …………5分

平面,平面

.                   …………6分

平面,平面,,…………7分

平面,             …………8分

平面,             …………9分

平面平面.       …………10分

(3) 底面是菱形,

菱形的面積為,…………11分

四棱錐的高為,,得 …………12分

平面,平面,

.                                                …………13分

在中,.          …………14分

考點：本小題主要考查空間線面關系、幾何體的體積等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.

點評：掌握線線，線面，面面平行與垂直的判定與性質是解決此類問題的關鍵.同時還要記住柱、錐、臺體的體積及表面積公式.