Question

如圖，游客從某旅游景區的景點A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再從B勻速步行到C.假設纜車勻速直線運動的速度為130 m/min，山路AC長為1 260 m，經測量cos A＝，cos C＝.
 
(1)求索道AB的長；
(2)問乙出發多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？
(3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應控制在什么范圍內？

Answer 1

（1）1040 m（2）min（3）

(1)在△ABC中，因為cos A＝，cos C＝，所以sin A＝，
sin C＝.
從而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.

由正弦定理，得AB＝×sin C＝＝1040(m)．
所以索道AB的長為1040 m.
(2)假設乙出發t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了(100＋50t)m，乙距離A處130t m，所以由余弦定理得d²＝(100＋50t)²＋(130t)²－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t²－70t＋50)，因0≤t≤，即0≤t≤8，故當t＝ (min)時，甲、乙兩游客距離最短．
(3)由正弦定理，得BC＝×sin A＝×＝500(m)．
乙從B出發時，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，還需走710 m才能到達C.
設乙步行的速度為v m/min，由題意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應控制在 (單位：m/min)范圍內