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已知f(x)是定義在R上的函數,設g(x)=
f(x)+f(-x)
2
,h(x)=
f(x)-f(-x)
2

①試判斷g(x)與h(x)的奇偶性;
②試判斷g(x),h(x)與f(x)的關系;
③由此你能猜想得出什么樣的結論,并說明理由.
分析:①根據函數奇偶性的定義,我們易判斷出g(-x)與g(x),h(-x)與h(x)的關系,進而判斷出函數g(x)與h(x)的奇偶性;
②由已知中函數g(x)與h(x)的解析式,我們易判斷g(x),h(x)與f(x)的關系;
③根據①②的結論,通過歸納分析即可得到結論.
解答:解:①∵g(-x)=
f(-x)+f(x)
2
=g(x)
∴函數g(x)為偶函數
又∵h(-x)=
f(-x)-f(x)
2
=-
f(x)-f(-x)
2
=-h(x)
∴函數h(x)為奇函數
②∵g(x)=
f(x)+f(-x)
2
,h(x)=
f(x)-f(-x)
2

∴f(x)=g(x)+h(x)
③由①②得,任何一個定義域為R的函數都可以分解為一個奇函數和一個偶函數相加的形式.
點評:本題考查的知識點是函數奇偶性的判斷,熟練掌握函數奇偶性的定義是解答本題的關鍵.
練習冊系列答案
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f(a)+f(b)
a+b
>0

(1)證明函數a=1在f(x)=-x2+x+lnx上是增函數;
(2)解不等式:f(
1
x-1
)>0,x∈(0,+∞);
(3)若f′(x)=-2x+1+
1
x
=-
2x2-x-1
x
對所有f'(x)=0,任意x=-
1
2
恒成立,求實數x=1的取值范圍.

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8、已知f(x)是定義在R上的函數,f(1)=1,且對任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,則g(2009)=( 。

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12
3)
,c=f(0.2-0.6),則a,b,c的大小關系
a>b>c
a>b>c

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