Question

（2007•普陀區一模）已知偶函數y=f（x），當x＞0時，f（x）=（x-1）²，若當x∈[-2，-

1

2

]時，不等式n≤f（x）≤m恒成立，則m-n的最小值是

1

．

Answer 1

分析：先設x∈[-2，-

1

2

]則

1

2

≤x≤2由x＞0時，f（x）=（x-1）²，可得f（-x）=（-x-1）²=（x+1）²，結合f（x）為偶函數可
求f（x），x∈[-2，-

1

2

]，n≤f（x）≤m恒成立，即n，m分布為函數的最小值與最大值，結合二次函數的性質可求

解答：解：設x∈[-2，-

1

2

]則

1

2

≤x≤2
當x＞0時，f（x）=（x-1）²，
∴f（-x）=（-x-1）²=（x+1）²
由f（x）為偶函數可得，f（-x）=f（x）
∴f（x）=（x+1）²，x∈[-2，-

1

2

]
結合二次函數的性質可得，此時f（x）_max=f（-2）=1，f（x）_min=f（0）
∵n≤f（x）≤m恒成立，
n=0，m=1，m-n=1
故答案為：1

點評：本題主要考查了利用偶函數定義f（-x）=f（x）求解函數的解析式，函數恒成立與函數最值的相互轉化，二次函數性質的應用，屬于知識的綜合應用，解題的關鍵是熟練掌握并能靈活利用函數的性質