【題目】如圖，在四棱錐
中，平面
平面
，
，
，
．
（1）求證：
；
（2）若
為線段
上的一點，
，
，
，求平面
與平面
所成銳二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析（2）
【解析】
（1）設
交
于點
，證明
平面
內的兩條相交直線即可得到線面垂直，再由線面垂直的性質，可證明線線垂直；
（2）找到三條兩兩互相垂直的直線，以為原點，以射線
為
軸，
軸，
軸正半軸建立空間直角坐標系，求出平面
的法向量
，平面
的法向量
，求法向量夾角的余弦值，即可求得答案.
設交于點，
，
，所以
，所以
，在
中，
且，得
，即
，
又平面
平面
，平面
平面
，
平面，
所以平面，
又
平面，所以
（2）平面平面，平面平面，
平面
，
，所以
平面，
以為原點，以射線為軸，軸，軸正半軸建立空間直角坐標系，
，
，
，
，
,
,
設平面的法向量為
，則
，
取
，得
設平面的法向量為
，
則
，取
，得，
設所求角為
，則
，
所求的銳二面角余弦值為
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某縣畜牧技術員張三和李四
年來一直對該縣山羊養殖業的規模進行跟蹤調查，張三提供了該縣某山羊養殖場年養殖數量
（單位：萬只）與相應年份
（序號）的數據表和散點圖（如圖所示），根據散點圖，發現y與x有較強的線性相關關系.
年份序號 |
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|
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|
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|
|
|
年養殖山羊 |
|
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|
|
|
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|
|
|
（1）根據表中的數據和所給統計量，求關于的線性回歸方程（參考統計量：
，
；
（2）李四提供了該縣山羊養殖場的個數
（單位：個）關于的回歸方程
.
試估計：①該縣第一年養殖山羊多少萬只？
②到第幾年，該縣山羊養殖的數量與第一年相比縮小了？
附：回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
，
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
，
為參數），曲線
的參數方程為
（
為參數），直線與曲線交于
，
兩點.
（1）以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，求曲線的極坐標方程；
（2）若
，點
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校高三年級有400名學生參加某項體育測試，根據男女學生人數比例，使用分層抽樣的方法從中抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組：
，整理得到如下頻率分布直方圖：
（1）若該樣本中男生有55人，試估計該學校高三年級女生總人數；
（2）若規定小于60分為“不及格”，從該學校高三年級學生中隨機抽取一人，估計該學生不及格的概率；
（3）若規定分數在
為“良好”,
為“優秀”.用頻率估計概率,從該校高三年級隨機抽取三人,記該項測試分數為“良好”或“優秀”的人數為X,求X的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
（
為參數），將曲線
上所有點橫坐標縮短為原來的
，縱坐標不變，得到曲線
，過點
且傾斜角為
的直線
與曲線交于
、
兩點．
（1）求曲線的參數方程和的取值范圍；
（2）求
中點
的軌跡的參數方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某服裝加工廠為了提高市場競爭力，對其中一臺生產設備提出了甲、乙兩個改進方案：甲方案是引進一臺新的生產設備，需一次性投資1000萬元，年生產能力為30萬件；乙方案是將原來的設備進行升級改造，需一次性投入700萬元，年生產能力為20萬件.根據市場調查與預測，該產品的年銷售量的頻率分布直方圖如圖所示，無論是引進新生產設備還是改造原有的生產設備，設備的使用年限均為6年，該產品的銷售利潤為15元/件（不含一次性設備改進投資費用）.
（1）根據年銷售量的頻率分布直方圖，估算年銷量的平均數
（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；
（2）將年銷售量落入各組的頻率視為概率，各組的年銷售量用該組區間的中點值作年銷量的估計值，并假設每年的銷售量相互獨立.
①根據頻率分布直方圖估計年銷售利潤不低于270萬元的概率：
②若以該生產設備6年的凈利潤的期望值作為決策的依據，試判斷該服裝廠應選擇哪個方案.（6年的凈利潤=6年銷售利潤-設備改進投資費用）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】共享單車因綠色、環保、健康的出行方式，在國內得到迅速推廣.最近，某機構在某地區隨機采訪了10名男士和10名女士，結果男士、女士中分別有7人、6人表示“經常騎共享單車出行”，其他人表示“較少或不選擇騎共享單車出行”.
（1）從這些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“經常騎共享單車出行”的概率；
（2）從這些男士中抽取一人，女士中抽取兩人，記這三人中“經常騎共享單車出行”的人數為
，求
的分布列與數學期望.
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