Question

已知一四棱錐P-ABCD的三視圖，E是側棱PC上的動點．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）不論點E在何位置，是否都有BD⊥AE？證明你的結論；
（3）若E點為PC的中點，點O為BD中點，證明EO∥平面PAB．

Answer 1

分析：（1）由已知中的三視圖，我們可以得到四棱錐的底面是一個以1為邊長的正方形，高PC長度為2，代入棱錐體積公式，即可得到答案．
（2）連接AC，交BD于O，我們易根據正方形的性質及線面垂直的性質，分別得到BD⊥AC，BD⊥PC，進而根據線面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC，再由線面垂直的性質即可得到不論點E在何位置，都有BD⊥AE．
（3）連接EO，由三角形中位線定理，可得EO∥PA，進而根據線面平行的判定定理，得到EO∥平面PAB．

解答：解：（1）由已知中的三視圖，得：
棱錐的底面面積S_ABCD=1×1=1
棱錐的高PC為2
故棱錐的體積V=

1

3

×SABCD×2=

2

3

（2）證明：連接AC，交BD于O，
則AC⊥BD，
又∵PC⊥平面ABCD
∴PC⊥BD，
又∵AC∩PC=C
∴BD⊥平面PAC
又∵AE?平面PAC
∴BD⊥AE
即不論點E在何位置，都有BD⊥AE．
（3）證明：連接EO，由E，O分別為PC，AC的中點
∴OE∥PA，
又∵OE?平面PAB，PA?平面PAB
∴OE∥平面PAB

點評：本題考查的知識點是由三視圖求體積，直線與平面垂直的判定及性質，直線與平面平行的判定，其中根據三視圖分析出幾何體的形狀及幾何特征是解答本題的關鍵．