Question

【題目】數列滿足： ，且 ，其前n項和.

（1）求證：為等比數列；

（2）記為數列的前n項和.

（i）當時，求；

（ii）當時，是否存在正整數，使得對于任意正整數，都有？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（i），（ii）

【解析】

（1）利用當時，，進行運算，最后能證明出為等比數列；

（2）（i）利用錯位相減法，可以求出；

（ii）根據的奇偶性進行分類，利用差比判斷數列的單調性，最后可以求出的值.

（1）當時，， 整理得，

所以是公比為a的等比數列，又所以

（2）因為

（i）當

兩式相減，整理得 .

（ii）因為， ∴當為偶數時，；

當為奇數時，，∴如果存在滿足條件的正整數，則一定是偶數.∵.

∴當時， ，∴ 又。

∴當時，即，當時，

即 ，即存在正整數，使得對于任意正整數都有.