Question

已知數列{a_n}，如果數列{b_n}滿足滿足b1=a1 ，bn=an+an-1 (n≥2，n∈N*)，則稱數列{b_n}是數列{a_n}的“生成數列”
（1）若數列{a_n}的通項為a_n=n，寫出數列{a_n}的“生成數列”{b_n}的通項公式．
（2）若數列{c_n}的通項為c_n=An+B，（A．、B是常數），試問數列{c_n}的“生成數列”{l_n}是否是等差數列，請說明理由．
（3）已知數列{d_n}的通項為dn=2n+n，設{d_n}的“生成數列”為{p_n}．若數列{L_n}滿足Ln=

dn     n是奇數 pn     n是偶數

求數列{L_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用新定義，代入計算，可得{b_n}的通項公式．
（2）表示出數列{c_n}的“生成數列”{l_n}的通項，分類討論，可得結論；
（3）表示出L_n，再分類討論，即可求數列{L_n}的前n項和T_n．

解答：解：（1）∵a_n=n，b1=a1 ，bn=an+an-1 (n≥2，n∈N*)
∴bn=

1                   n=1 2n-1            n≥2 ，n∈N*

∴b_n=2n-1；
（2）ln=

A+B                   n=1 2An+2B-A        n≥2 ，n∈N*

當B=0時，l_n=2An-A，由于l_n+1-l_n=2A（常數），所以此時數列{c_n}的“生成數列”{l_n}是等差數列．    
當B≠0時，由于l₁=A+B，l₂=3A+2B，l₃=5A+2B，此時l₁+l₃≠2l₂，
所以此時數列{c_n}的“生成數列”{l_n}不是等差數列．
（3）pn=

3                          n=1 3•2n-1+2n-1        n＞1

，Ln=

2n+n                 n是奇數 3•2n-1+2n-1     n是偶數

當n是偶數時，Tn=(2+1)+(23+3)+(25+5)+…+(2n-1+(n-1))+(3•2+3)+(3•23+7)+…+(3•2n-1+(2n-1))=

2

3

(2n-1)+

n2

4

+2n+1-2+

n(n+1)

2

=

8

3

(2n-1)+

3n2+2n

4

當n是奇數時，T_n=T_n+1-p_n+1=

8

3

(2n+1-1)+

3(n+1)2+2(n+1)

4

-(3•2n+(2n+1))
=

7•2n

3

+

3n2+1

4

-

8

3

=

7•2n

3

+

3

4

n2-

29

12

綜合：Tn=

7•2n 3 + 3 4 n2- 29 12                  n是奇數 8 3 (2n-1)+ 3n2+2n 4             n是偶數

．

點評：本題考查新定義，考查數列的求和，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．