Question

【題目】如果函數在定義域內存在區間[a，b]，使在[a，b]上的值域是[2a，2b]，那么稱為“倍增函數”。

（I）判斷=是否為“倍增函數”，并說明理由；

（II）證明：函數=是“倍增函數”；

（III）若函數=ln（）是“倍增函數”，寫出實數m的取值范圍。（只需寫出結論）

Answer 1

【答案】（I）見解析；（II）見證明；（III）<m<0

【解析】

（I）根據時，判斷出為“倍增函數”.（II）首先利用導數判斷出為單調遞增函數，構造函數，利用導數求得函數有且只有兩個零點，進而判斷出函數是“倍增函數”.（III）為增函數，且為“倍增函數”，所以，即；所以方程，化為有兩個不相等的實數根，且兩根都大于零.即，解得.所以的取值范圍是.

解：（I）=是“倍增函數”，理由如下：

=的定義域是R，且在[0，+）上單調遞增；

所以，當 [0，2]時，∈[0，4]，

所以，=是“倍增函數”。

（II）=的定義域是R。

當x>0時，=>0，所以在區間（0，+）上單調遞增。

設=－2x=，=。

設h（x）==，=>0，

所以，h（x）在區間（－，+）上單調遞增。

又h（0）=－2<0，h（1）=e－1>0，

所以，存在唯一的∈（0，1），使得h（）==0，

所以，當x變化時，與的變化情況如下表：

x	（－，）		（，+）
	－	0	+
	↘		↗

因為g（1）=e－3<0，g（2）=>0，

所以，存在唯一的∈（1，2），使得=0，

又=0，所以函數只有兩個零點，即0與。

所以=0，=2。

結合在區間（0，+）上單調遞增可知，當x∈[0，]時的值域是[0，2]。

所以，令[a，b]=[0，]，=是“倍增函數”。

（III）<m<0。