Question

【題目】在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數列，這樣的操作叫做該數列的一次拓展．如數列1，2，經過第1次拓展得到數列1，3，2；經過第2次拓展得到數列1，4，3，5，2；設數列a，b，c經過第n次拓展后所得數列的項數記為，所有項的和記為．

（1）求，，；

（2）若，求n的最小值；

（3）是否存在實數a，b，c，使得數列為等比數列，若存在，求a，b，c滿足的條件；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）10；（3）存在，且.

【解析】

（1）根據原有的項數，確定每次拓展增加的項數，由此求得的值.

（2）根據拓展的方法，確定和的遞推關系式，利用配湊法求得的通項公式，解不等式求得的最小值.

（3）根據拓展的方法，確定和的遞推關系式，通過假設成等比數列，得到且，此時，即數列為等比數列.

（1）因原數列有3項，經第1次拓展后的項數；

經第2次拓展后的項數；

經第3次拓展后的項數.

（2）因數列每一次拓展是在原數列的相鄰兩項中增加一項，

由數列經第次拓展后的項數為，則經第次拓展后增加的項數為，

所以，

所以，

由（1）知，所以，∴，

由，即，解得，

所以的最小值為10．

（3）設第次拓展后數列的各項為，

所以，

因數列每一次拓展是在原數列的相鄰兩項中增加這兩項的和，

所以，

即，所以，

得，，，

因為數列為等比數列，所以，可得，

則，由得，

反之，當且時，，，，所以數列為等比數列，

綜上，滿足的條件為且.