Question

下列四個命題：①(a+

1

a

)2n的常數項是第n項；②（a+b）²ⁿ的前n項二項式系數之和等于后n項二項式系數之和，均等于2^2n-1；③(2a+

1

a

)n展開式中a的正指數項的系數之和大于a的負指數項的系數之和；④（3x+28x²-1）⁹⁹•（5x-7x²+2）⁸的常數項是2⁸其中正確命題的個數為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①根據二項式展開式的通項可得當r=n時即T_r+1是常數項．②展開式共有2n+1項，并且所有項的二項式系數之和2²ⁿ．
③a正指數項的系數之和為C_n⁰2ⁿ+C_n¹2^n-1+C_n²2^n-2+…，a的負指數項的系數之和為C_nⁿ2⁰+C_n^n-12¹+C_n^n-22²+…．
④常數項是-2⁸．

解答：解：①由題意可得：(a+

1

a

)2n展開式的通項為T_r+1=C_2n^ra^2n-2r，所以當r=n時即T_r+1是常數項，所以①錯誤．
②由題意可得：（a+b）²ⁿ的展開式共有2n+1項，并且所有項的二項式系數之和2²ⁿ，所以展開式的前n項二項式系數之和與后n項二項式系數之和均等于2^2n-1錯誤，所以②錯誤．
③(2a+

1

a

)n展開式的通項為T_r+1=2^n-rC_n^ra^n-2r，a正指數項的系數之和為C_n⁰2ⁿ+C_n¹2^n-1+C_n²2^n-2+…，a的負指數項的系數之和為C_nⁿ2⁰+C_n^n-12¹+C_n^n-22²+…，所以③正確．
④（3x+28x²-1）⁹⁹•（5x-7x²+2）⁸=[（3x+28x²）-1]⁹⁹•[（5x-7x²）+2]⁸的常數項是-2⁸，所以④錯誤．
故選A．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，以及二項展開式的有關性質與通項．