Question

【題目】某單位組織“學習強國”知識競賽，選手從6道備選題中隨機抽取3道題.規定至少答對其中的2道題才能晉級.甲選手只能答對其中的4道題。

(1)求甲選手能晉級的概率；

(2)若乙選手每題能答對的概率都是，且每題答對與否互不影響，用數學期望分析比較甲、乙兩選手的答題水平。

Answer 1

【答案】（1）；（2）乙選手比甲選手的答題水平高

【解析】

（1）解法一：分類討論，事件“甲選手能晉級”包含“甲選手答對道題”和“甲選手答對道題”，然后利用概率加法公式求出所求事件的概率；

解法二：計算出事件“甲選手能晉級”的對立事件“甲選手答對道題”的概率，然后利用對立事件的概率公式可計算出答案；

（2）乙選手答對的題目數量為，甲選手答對的數量為，根據題意知，隨機變量服從超幾何分布，利用二項分布期望公式求出，再利用超幾何分布概率公式列出隨機變量的分布列，并計算出，比較和的大小，然后可以下結論。

解法一：（1）記“甲選手答對道題”為事件，，“甲選手能晉級”為事件，則。

；

（2）設乙選手答對的題目數量為，則，故，

設甲選手答對的數量為，則的可能取值為，

，，，

故隨機變量的分布列為

所以，，則，

所以，乙選手比甲選手的答題水平高；

解法二：（1）記“甲選手能晉級”為事件，則；

（2）同解法二。