Question

【題目】設函數，若曲線在點 處的切線方程為.

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）求證：在曲線上任意一點處的切線與直線和所圍成的三角形面積為定值，并求出此定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見證明

【解析】

（Ⅰ）求導函數，利用曲線y＝f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為，建立方程，可求得a＝1，b＝1，從而可得f（x）的解析式；

（Ⅱ）設為曲線f（x）上任一點，求出切線方程為，令x＝0，可得，切線方程與直線y＝x聯立，求得交點橫坐標為x＝2x0，計算曲線f（x）上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積，即可得到結論．

（Ⅰ）由題意的，解得，；

（Ⅱ）設為曲線上任一點，

由知，曲線在點處的切線方程為，

當得，令，得，

所以點處的切線與直線，所圍成的三角形的面積為

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