Question

已知y=f（x）是二次函數，方程f（x）=0有兩相等實根，且f'（x）=2x+2
（1）求f（x）的解析式；
（2）求曲線y=f（x）與直線x+y-1=0所圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析：（1）y=f（x）是二次函數，設為f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由方程f（x）=0有兩相等實根，可利用判別式為0得到一個方程，再由f'（x）=2x+2得到一個關于引入系數的方程，解方程求出系數，即得f（x）的解析式；
（2）由于兩個函數的交點坐標是（-3，4），（0，1），求出被積函數，利用定積分求面積的規則求曲線y=f（x）與直線x+y-1=0所圍成的圖形的面積即可．

解答：解：（1）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0）．…（2分）
由

b2-4ac=0 2ax+b=2x+2

得a=1，b=2，c=1…（5分）
∴f（x）=x²+2x+1…（6分）
（2）由得x=-3或x=0…（8分）
∴s=

∫

0 -3

(-x+1)dx-

∫

0 -3

(x2+2x+1)dx…（10分）
=(-

1

2

x2+x)

.

0 -3

-(

1

3

x3+x2+x)

.

0 -3

…（12分）
=

9

2

…（13分）

點評：本題考查定積分在求面積中的應用，正確掌握定積分求面積的規則是解題的關鍵，本題中求函數的解析式用到了待定系數法，這是求解析式的一種常用方法．