Question

如圖，在三棱錐A-BCD中，平行于BC的平面MNPQ分別交AB、AC、CD、BD于M、N、P、Q四點，且MN=PQ．
（1）求證：四邊形MNPQ為平行四邊形；
（2）試在直線AC上找一點F，使得MF⊥AD．

Answer 1

分析：（1）由線面平行的性質得線線平行，進一步利用平行公理得線線平行，再由已知MN=PQ證得結論；
（2）先找一個過M且與AD垂直的面，面與AC的交點即為要找的F點．

解答：（1）證明：如圖，
由已知BC∥平面MNPQ，BC?面ABC，面MNPQ∩面ABC=MN，
由線面平行的性質得，BC∥MN，
又BC∥平面MNPQ，BC?面BCD，面MNPQ∩面BCD=PQ，
由線面平行的性質得，BC∥PQ，
∴MN∥PQ，又由已知MN=PQ，∴四邊形MNPQ為平行四邊形；
（2）在面ABD中，過M作ME⊥AD，交AD于E，在面ACD中過E作EF⊥AD，交AC于F．
∵ME⊥AD，EF⊥AD，ME∩EF=E，
∴AD⊥面MEF，
∴MF⊥AD．
則AC上的點F為所求．

點評：本題考查了直線與平面垂直的性質，考查了空間直線與直線的位置關系，考查了學生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．