Question

設橢圓中心在坐標原點，焦點在x軸上，一個頂點為(

2

，0)，離心率為

2

2

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若橢圓左焦點為F₁，右焦點為F₂，過F₁且斜率為k的直線交橢圓于A、B，且|

F2A

+

F2B

|=

2 26

3

，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）一個頂點為(

2

，0)，即a=

2

，離心率為

2

2

，可得c=1，再由a²=b²+c²，可得b=1，從而的橢圓方程
（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線AB的方程為 y=k（x+1）代入橢圓方程，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，從而得x₁+x₂、x₁x₂、y₁+y₂，而|

F2A

+

F2B

|=

2 26

3

即

(x1+x2-2)2+(y1+y2)2

=

2 26

3

，代入可得方程，解之即得k值

解答：解：（I）由已知得，解得a=

2

，c=1
∴b=

a2-c2

=1
∴所求橢圓的方程為

x2

2

+y2=1          
（II）由（I）得F₁（-1，0），F₂（1，0）
直線AB的方程為 y=k（x+1），
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯立

y=k(x+1) x2 2 +y2=1

，消元得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
∴x₁+x₂=

-4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂+2）=

2k

1+2k2

，
又∵

F2A

=(x1-1，y1)，

F2B

=(x2-1，y2)
∴

F2A

+

F2B

=(x1+x2-2，y1+y2)
∴|

F2A

+

F2B

|=

(x1+x2-2)2+(y1+y2)2

=

2 26

3

代入x₁+x₂與y₁+y₂的值
化簡得40k⁴-23k²-17=0
解得k²=1或k²=-

17

40

（舍去）
∴k=±1
∴所求直線l的方程為y=x+1或y=-x-1

點評：本題考察了橢圓的標準方程，直線與橢圓相交的關系，解題時要特別體會韋達定理在解題中的重要作用，設而不求的解題思想