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如圖，在軸上方有一段曲線弧，其端點、在軸上（但不屬于），對上任一點及點，，滿足：．直線，分別交直線于，兩點．

（Ⅰ）求曲線弧的方程；
（Ⅱ）求的最小值（用表示）；

（I）.（II）.

解析試題分析：（I）由橢圓的定義，曲線是以，為焦點的半橢圓，
利用的關系，得到的方程為.
要特別注意有限制.
（II）設并代入橢圓方程得到，根據，，可以得到直線的方程，進一步令可得，的縱坐標分別，將用縱坐標表出，應用“基本不等式”，得到其最小值.
本解答即體現此類問題的一般解法“設而不求”，又反映數學知識的靈活應用.
試題解析：（I）由橢圓的定義，曲線是以，為焦點的半橢圓，
. 
∴的方程為.          4分
（注：不寫區間“”扣1分）
（II）由（I）知，曲線的方程為，設，
則有， 即   ①   
又，，從而直線的方程為
AP：；   BP：         6分
令得，的縱坐標分別為
；     .
∴②  將①代入②， 得 .        8分
∴.
當且僅當，即時，取等號．
即的最小值是.        12分
考點：橢圓的定義，直線與橢圓的位置關系，基本不等式的應用.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）若直線與橢圓交于不同的兩點、，且線段的垂直平分線過定點，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，F1，F2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，A是橢圓C的頂點，B是直線AF2與橢圓C的另一個交點，∠F1AF2＝60°

(1)求橢圓C的離心率；
(2)已知△AF1B的面積為40，求a，b的值

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在直角坐標系上取兩個定點，再取兩個動點且．
（I）求直線與交點的軌跡的方程；
（II）已知，設直線：與（I）中的軌跡交于、兩點，直線、 的傾斜角分別為且，求證：直線過定點，并求該定點的坐標.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知圓和圓.
（1）若直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；
（2）設為平面上的點，滿足：存在過點的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點的坐標.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：，過點作圓的切線交橢圓于A，B兩點。
（1）求橢圓的焦點坐標和離心率；
（2）求的取值范圍；
（3）將表示為的函數，并求的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知拋物線的焦點為F2，點F1與F2關于坐標原點對稱，以F1,F2為焦點的橢圓C過點.
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設點，過點F2作直線與橢圓C交于A,B兩點，且，若的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

知橢圓的離心率為，定點，橢圓短軸的端點是，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）設過點且斜率不為0的直線交橢圓于兩點.試問軸上是否存在異于的定點，使平分？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設橢圓的左焦點為，離心率為，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.
(1) 求橢圓方程.
(2) 過點的直線與橢圓交于不同的兩點，當面積最大時，求.

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