Question

如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，側面PAD

是正三角形，且側面PAD⊥底面ABCD，E為側棱PD的中點．

（I）試判斷直線PB與平面EAC的關系

（文科不必證明，理科必須證明）；

（II）求證：AE⊥平面PCD；

（III）若AD＝AB，試求二面角A－PC－D

的正切值.

Answer 1

（I）PB∥平面EAC．（II）證明見解析 ，（III）二面角A－PC－D的正切值為．  

解析:

解法一：

（I）PB∥平面EAC．證明如下：

連結BD交AC于點O，連結EO，則O為BD的中點，

又∵E為PD的中點，∴EO∥PB，∴PB∥平面EAC．

（II）∵CD⊥AD，且側面PAD⊥底面ABCD，

而側面PAD底面ABCD＝AD，

∴CD⊥側面PAD，∴CD⊥AE．

∵側面PAD是正三角形，E為側棱PD的中點，

∴AE⊥PD，∴AE⊥平面PCD；     

（III）過E作EM⊥PC于M，連結AM，由（2）及三垂線定理知AM⊥PC．

∴∠AME為二面角A－PC－D的平面角．                               10分

由正三角形PAD及矩形ABCD，且AD＝AB，∴PD＝AD＝AB＝DC，

∴在等腰直角三角形DPC中，設AB＝a，則AE＝a，PC＝a，EM＝×a． 12分

在△AEM中，tan∠AME＝＝＝． 

即二面角A－PC－D的正切值為．        

解法二：（I）同解法一                   

（II）設N為AD中點，Q為BC中點，則因為△PAD是正三角形，底面ABCD是矩形，所以，PN⊥AD，QN⊥AD，又因為側面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥面ABCD，QN⊥面PAD，以N為坐標原點，NA、NQ、NP所在直線分別為x，y，z軸如圖建立空間直角坐標系．設AD＝1，AB＝a，則，，，，，．                                                                                                   

∴，，.

∴，.

∴．又，PD，DC面PDC，

∴ AE⊥平面PCD；            

（III）當a＝1時，由（2）可知：是平面PDC的法向量，

設平面PAC的法向量為，則，，

即，取x＝1，可得：y＝1，z＝．所以，．    

向量與所成角的余弦值為：．  

∴tanq＝．                                                             

又由圖可知，二面角A－PC－D的平面角為銳角，所以二面角A－PC－D的平面角就是向量與所成角的補角．其正切值等于.                                         14分