Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的離心率為，右焦點F到右準線的距離為3．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設過F的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點．已知l被圓O：x2+y2＝a2截得的弦長為，求△OPQ的面積．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）．

【解析】

（1）由題可得,,再由可求得,即可得到橢圓方程；

（2）顯然直線的斜率不為0,設直線l的方程為x＝my+1,與橢圓方程聯立,則利用韋達定理可得的縱坐標的關系,再根據弦長公式求得,由直線截圓的弦長求得,進而求解即可.

（1）由題意知,,

因為,解得a2＝4,b2＝3,

所以橢圓的方程為:1

（2）由題意知直線l的斜率不為0,由（1）知F（1,0）,

設直線l的方程為x＝my+1,P（x,y）,Q（x',y'）,

聯立直線l與橢圓的方程整理得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0,

所以y+y',yy',

所以|PQ|,

因為圓O:x2+y2＝4到l的距離d,被圓O:x2+y2＝4截得的弦長為,

所以得14＝4（4）,解得m2＝1,

所以d,|PQ|,

所以S△OPQ.