Question

已知數列{a_n}中，an=1+

1

a+2(n-1)

(n∈N*，a∈R，且a≠0)．
（1）若a=-7，求數列{a_n}中的最大項和最小項的值；
（2）若對任意的n∈N^*，都有a_n≤a₆成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數f(x)=1+

1

2x-9

在正數范圍內的單調性，可得數列{a_n}的單調性是在兩個區間內分別為減函數，n小于等于4時每一項都小于1且為減，n大于等于5時每一項都大于1且為減，故得大項為a₅=2，最小項為a₄=0；
（2）由已知條件知a₆為數列的最大項，化數列為an=1+

1 2

n- 2-a 2

的形式，再利用（1）中該數列列的單調性結論知5＜

2-a

2

＜6，可以得出a的取值范圍是大于-10而小于-8．

解答：解：（1）∵an=1+

1

a+2(n-1)

(n∈N*，a∈R，且a≠0)
當a=-7時，∴an=1+

1

2n-9

(n∈N*)
結合函數f(x)=1+

1

2x-9

的單調性
可知：1＞a₁＞a₂＞a₃＞a₄；a₅＞a₆＞a₇＞…＞a_n＞1（n∈N^*）
∴{a_n}中的最大項為a₅=2，最小項為a₄=0
（2）an=1+

1

a+2(n-1)

=1+

1 2

n- 2-a 2

∵對任意的n∈N^*，都有a_n≤a₆成立，并結合函數f(x)=1+

1 2

x- 2-a 2

的單調性
∴5＜

2-a

2

＜6∴-10＜a＜-8

點評：本題主要考查了數列的函數特性和函數最值的應用，屬于中檔題．其中的思路是對該題中的數列表達式進行分離常數，再利用一次分式函數的單調性質，求函數在正數范圍內的最值，從而得出所要求的最大最小項和參數的范圍，問題迎刃而解．