Question

【題目】定義向量的“相伴函數”為，函數的“相伴向量”為，其中O為坐標原點，記平面內所有向量的“相伴函數”構成的集合為S.

（1）設，求證：；

（2）已知且，求其“相伴向量”的模；

（3）已知為圓上一點，向量的“相伴函數”在處取得最大值，當點M在圓C上運動時，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）把化為形式，由定義證明；

（2）把化為形式，得其“相伴向量”，由模公式可求模；

（3）先根據定義得到函數取得最大值時對應的自變量，再結合幾何意義求出的取值范圍，由正切的二倍角公式及函數的單調性可得結論．

（1），其“相伴向量”為，

∴；

（2）

，

其“相伴向量”為，

∴；

（3）向量的“相伴函數”為，其中，

當時，取得最大值，故，∴，

∴，表示直線的斜率，由幾何意義知，令，則，，

當時，單調遞減，∴，當時，單調遞減，∴，

綜上所述，．