Question

【題目】已知正項等比數列的前項和為，且，。數列的前項和為，且。

(1)求數列的通項公式及其前項和；

(2)證明數列為等差數列，并求出的通項公式；

(3)設數列，問是否存在正整數 ，使得成等差數列，若存在，求出所有滿足要求的；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，；（3）存在正整數 ，使得成等差數列。理由見解析。

【解析】

(1)利用等比數列基本量運算即可得到數列的通項公式及其前項和；(2)由 得到 ，進而求得 ，利用等差數列定義證明即可；(3) 因為，所以，利用反證法即可證明.

(1)設正項等比數列的公比為，則由得，從而，又由得，因此，，

所以，。

(2)方法一：因為，所以，

從而數列是以為首項，為公差的等差數列，故，

故，

當時，，且時適合，因此，，

從而當時，為常數，所以，數列為等差數列。

方法二：因為，

所以，當時，有，

兩式相減得：，即，

故，即，

又由得，從而，故，

所以，數列為等差數列。

(3)因為，

所以，

假設存在存在正整數 ，使得成等差數列，則

，即，

令，則原問題等價于存在正整數，使得，即成立。

因為(因為)，故數列單調遞增，

若，即，則，

從而，即，而，

因此，，這與恒成立矛盾，故只能有，即，

從而，故，即， (*)

①若為奇數，，則記，從而，

因為數列單調遞增，所以數列單調遞減，故當時，，而，故，因此，(*)式無正整數解。

②若為偶數，則記，即，同理可得(*)無正整數解。

綜上，不存在存在正整數，使得成等差數列，也即不存在正整數 ，使得成等差數列。