Question

【題目】已知函數.

(I)求曲線在點處的切線方程；

(Ⅱ)當時，求證：函數存在極小值；

(Ⅲ)請直接寫出函數的零點個數．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）當或時，函數有一個零點 ；當且時，函數有兩個零點.

【解析】

(1) 求出函數f（x）的導數，可得切線的斜率和切點，可得切線的方程；(2)，說明有可變零點即可；(3)由題意可得函數的零點個數．

（1）的定義域為

因為

所以切點的坐標為

因為

所以切線的斜率，

所以切線的方程為

（2）方法一：

令

因為且，

所以，，

從而得到在上恒成立

所以在上單調遞增且，

所以在上遞減，在遞增；

所以時，取得極小值，問題得證

方法二：

因為

當時，

當時， ，所以

當時， ，所以

所以在上遞減，在遞增；

所以時，函數取得極小值，問題得證.

（3）當或時，函數有一個零點 ；

當且時，函數有兩個零點.