Question

（本小題滿分12分）

如圖，平面平面ABCD，

ABCD為正方形，是直角三角形，

且，E、F、G分別是

線段PA，PD，CD的中點.

（1）求證：∥面EFC；

（2）求異面直線EG與BD所成的角；

（3）在線段CD上是否存在一點Q，

使得點A到面EFQ的距離為0.8. 若存在，

求出CQ的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（2）（3）點A到面EFQ的距離為0.8

解析:

解法一：（1）證明：取AB中點H，連結GH，HE，

∵E，F，G分別是線段PA、PD、CD的中點，∴GH∥AD∥EF，∴E，F，G，H四點共面.

又H為AB中點，∴EH∥PB.又面EFG，PB面EFG，∴PB∥面EFG.

（2）取BC的中點M，連結GM、AM、EM，則GM∥BD，

∴∠EGM（或其補角）就是異面直線EG與BD

所成的角.在Rt△MAE中，，

同理，又，

∴在MGE中，，

故異面直線EG與BD所成的角為.

（3）假設在線段CD上存在一點Q滿足

題設條件. 過點Q作QR⊥AB于R，連結RE，

則QR∥AD.∵ABCD是正方形，△PAD是直角三角形，

且PA=AD=2，∴AD⊥AB，AD⊥PA，

又∵ABPA=A，∴AD⊥面PAB.

又∵E，F分別是PA，PD中點，∴EF∥AD，∴EF⊥面PAB.

又EF面EFQ，∴面EFQ⊥面PAB.

過A作AT⊥ER于T，則AT⊥面EFQ，

∴AT就是點A到面EFQ的距離.

設，則BR=CQ=x，AR=2-x，AE=1，

在Rt△EAR中，.

故存在點Q，當時，點A到面EFQ的距離為0.8.

解法二：建立如圖所示的空間直角坐標系A—xyz，

則,

,

.

（1）∵，，

設，即，

解得.∴，又∵不共線，

∴共面. ∵PB面EFG，∴PB∥面EFG.

（2）∵，

∴.故異面直線EG與BD所成的角為

（3）假設在線段CD上存在一點Q滿足題設條件，令，則DQ=2-m，

∴點Q的坐標為，∴. 而，設平面EFQ的法向量為n=(x，y，z)，則，

∴. 令x=1，則.

又，∴點A到面EFQ的距離，

即，∴.

故存在點Q，當時，點A到面EFQ的距離為0.8.