Question

【題目】定義：若函數的定義域為，且存在非零常數，對任意， 恒成立，則稱為線周期函數， 為的線周期.

（Ⅰ）下列函數①，②，③（其中表示不超過的最大整數），是線周期函數的是（直接填寫序號）；

（Ⅱ）若為線周期函數，其線周期為，求證：函數為周期函數；

（Ⅲ）若為線周期函數，求的值.

Answer 1

【答案】(1) ③(2)見解析(3)

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據新定義逐個判斷即可；

（Ⅱ）根據新定義證明出 ，即可證得函數為周期函數；

（Ⅲ）φ（x）=sinx+kx為線周期函數，可得存在非零常數T，對任意x∈R，sin（x+T）+k（x+T）=sinx+kx+T．即可得到2kT=2T，解得驗證即可．

試題解析：

（Ⅰ）對于①f（x+T）=2x+T=2x2T=f（x）2T，故不是線周期函數
對于②f（x+T）=log2（x+T）≠f（x）+T，故不是線周期函數
對于③f（x+T）=[x+T]=[x]+T=f（x）+T，故是線周期函數
故答案為③

（Ⅱ）證明：∵為線周期函數，其線周期為，

∴存在非零常數，對任意， 恒成立.

∵，

∴ .

∴為周期函數.

（Ⅲ）∵為線周期函數，

∴存在非零常數，對任意， .

∴.

令，得；…………①

令，得；…………②

①②兩式相加，得.

∵，

∴.

檢驗：

當時， .

存在非零常數，對任意，

，

∴為線周期函數.

綜上， .