Question

已知矩形ABCD內接于圓柱下底面的圓O，PA是圓柱的母線，若AB=6，AD=8，異面直線PB與CD所成的角為arctan2，求此圓柱的體積．

Answer 1

分析：根據底面圓的內接矩形的長和寬求出圓的半徑，再由母線垂直于底面和“異面直線PB與CD所成的角為arctan2”求出母線長，代入圓柱的體積公式求出值．

解答：解：設圓柱下底面圓O的半徑為r，連AC，由矩形ABCD內接于圓O，
可知AC是圓O的直徑，（2分）
∴2r=AC=

62+82

=10，得r=5，（4分）
由AB∥CD，可知∠PBA就是異面直線PB與CD所成的角，即∠PBA=arctan2，
∴tan∠PBA=2．（7分）
在直角三角形PAB中，PA=ABtan∠PBA=12，（9分）
∴圓柱的體積V=πr²•PA=π×5²×12=300π．（12分）

點評：本題考查了圓柱的體積求法，主要根據圓內接矩形的性質、母線垂直于底面圓求出它的底面圓半徑和母線，即關鍵求出半徑和母線長即可．