Question

【題目】是邊長為的等邊三角形，E、F分別為AB、AC的中點，，沿EF把折起，使點A翻折到點P的位置，連接PB、PC，則四棱錐的外接球的表面積的最小值為________，此時四棱錐的體積為________.

Answer 1

【答案】

【解析】

根據題意，當梯形BCEF的外接圓的圓心為四棱錐的外接球的球心時，外接球的半徑最小，易得BC的中點即為梯形的外接圓圓心，也即為四棱錐的球心，進而求解.

如圖所示：

四邊形BCEF為梯形，則必有外接圓，設O為梯形BCEF的外接圓的圓心，即為外接球的球心時，外接球的半徑最小，也就使得外接球的表面積最小，過A作BC的垂線交BC于點M，交EF于點N，連接PM，PN，點O必在AM上，

因為E，F，分別為中點，

所以，

所以，即是直角三角形，

因為是邊長為的等邊三角形，E、F分別為AB、AC的中點，

所以,

所以點M為為梯形BCEF的外接圓的圓心，即點O與點M重合,

所以，,

所以四棱錐的高為：,

所以棱錐的外接球的表面積的最小值為，

此時四棱錐的體積為.

故答案為：(1). (2).