Question

【題目】已知橢圓，四點，，，中恰有三個點在橢圓C上，左、右焦點分別為F1、F2．

（1）求橢圓C的方程；

（2）過左焦點F1且不平行坐標軸的直線l交橢圓于P、Q兩點，若PQ的中點為N，O為原點，直線ON交直線x＝﹣3于點M，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）由橢圓的對稱性可得P2，P3，P4在橢圓上，進而求出橢圓的方程；

（2）由（1）可得F1的坐標，由題意設直線l的方程與橢圓聯立，求出兩根之和及兩根之積，求出PQ的中點N的坐標，再由直線ON與x＝﹣3，求出M的坐標，進而求出的表達式，換元由二次函數配方可得其最大值．

解：（1）由橢圓的對稱性易知，關于y軸對稱，

一定都在橢圓上．所以一定不在橢圓上．

根據題意也在橢圓上，

將，帶入橢圓方程，解得橢圓方程為；

（2）設直線l方程為y＝k（x+2）（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），

聯立，可得（3k2+1）x2+12k2x+12k2﹣6＝0；

則 ＝24（k2+1）＞0，且，，

設PQ的中點N（x0，y0），則，，

∴N坐標為，，；

因此直線ON的方程為，從而點M為，又F1（﹣2，0），

所以，令u＝3k2+1≥1，

則，

因此當u＝4，即k＝±1時h（u）最大值為3．

所以取得最大值．