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【題目】已知函數.

(1)若函數有且只有一個零點，求實數的值；

(2)證明：當時， .

【答案】（1）1；（2）見解析．

【解析】試題分析：

(1)討論函數的單調性可得滿足題意時，解得.

(2)結合(1)的結論不妨設，結合函數的性質即可證得題中的不等式.

試題解析：

(1)方法1： ， ，

時， ； 時， ； 時， ；

∴在上單調遞減，在上單調遞增，

∴，∵有且只有一個零點，

故，∴.

方法2：由題意知方程僅有一實根，

由得 ()，

令， ，

時， ； 時， ； 時， ，

∴在上單調遞增，在上單調遞減，

∴，

所以要使僅有一個零點，則.

方法3：函數有且只有一個零點即為直線與曲線相切，設切點為，

由得，∴，∴，

所以實數的值為1.

(2)由(1)知，即當且僅當時取等號，

∵，令得， ，

，

即.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知在四棱錐中，底面是菱形， ， 平面， 分別是的中點.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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【題目】如圖，在海岸線一側處有一個美麗的小島，某旅游公司為方便游客，在上設立了兩個報名點，滿足中任意兩點間的距離為.公司擬按以下思路運作：先將兩處游客分別乘車集中到之間的中轉點處(點異于兩點)，然后乘同一艘輪游輪前往島．據統計，每批游客處需發車2輛， 處需發車4輛，每輛汽車每千米耗費元，游輪每千米耗費元．（其中是正常數）設∠，每批游客從各自報名點到島所需運輸成本為元．

(1) 寫出關于的函數表達式，并指出的取值范圍；

(2) 問：中轉點距離處多遠時， 最�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示的程序框圖運行程序后，輸出的結果是31，則判斷框中的整數H=（ ）

A.3
B.4
C.5
D.6

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【題目】已知雙曲線E的中心在坐標原點，離心率為2，E的右焦點與拋物線C：y2=8x的焦點重合，A、B是C的準線與E的兩個交點，則|AB|=（ ）
A.3
B.6
C.9
D.12

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【題目】如圖，已知四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，
且∠DAB=90°，∠ABC=45°，CB= ，AB=2，PA=1

（1）求證：AB∥平面PCD；
（2）求證：BC⊥平面PAC；
（3）若M是PC的中點，求三棱錐C﹣MAD的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系中，曲線的普通方程為，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系.

（1）求曲線、的極坐標方程；

（2）求曲線與交點的極坐標，其中， .

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f（x）是定義域為（0，+∞）的單調函數，若對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣ ]=2，則f（2016）=（ ）
A.
B.
C.
D.

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【題目】已知關于x的方程x2﹣2alnx﹣2ax=0有唯一解，則實數a的值為（ ）
A.1
B.
C.
D.

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