Question

【題目】已知橢圓：的左右頂點分別為，，點是橢圓上異于、的任意一點，設直線，的斜率分別為、，且，橢圓的焦距長為4.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過右焦點的直線交橢圓于、兩點，分別記，的面積為、，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設出點的坐標,代入橢圓方程,根據,可得方程組,求得的等量關系,結合焦距長即可求得,得橢圓方程.

（2）討論直線斜率存在與不存在兩種情況.當斜率不存在時,易求得,即可求得;當斜率存在時,用點斜式表示出直線方程,聯立橢圓,整理成關于的一元二次方程,利用韋達定理表示出.結合直線方程,即可表示出.將等式變形,結合基本不等式即可求得最大值.

（1）橢圓：,點是橢圓上異于、的任意一點

設點,則,①

∵,②

∴聯立①②得,

∴,

又∵,∴,

∴,即,

∴,∴,

∴橢圓的標準方程為.

（2）由題意知,

①當直線的斜率不存在時,,于是,

②當直線的斜率存在時,設直線：,

聯立,得.

設,,根據韋達定理,得,,

于是

,

當且僅當時等號成立,

綜上,的最大值為.