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對于數列,規定數列為數列的一階差分數列，其中;一般地，規定為的k階差分數列，其中,且.(I)已知數列的通項公式。試證明是等差數列;（II）若數列的首項，且滿足，求數列及的通項公式;

(Ⅰ)   略(Ⅱ)   


解析:

（I）依題意：,

 數列是首項為1，公差為5的等差數列.…6分

 (II)由得,

,,,  .…9分

當時，

    …14分

當n=1時，也滿足上式. …16分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

對于數列{an}，規定{△an}為數列{an}的一階差分數列，其中△an=an+1-an（n∈N*）；類似的，規定{△2an}為數列{an}的二階差分數列，其中△2an=△an+1-△an（n∈N*）．
（Ⅰ）已知數列{an}的通項公式an=3n2-5n（n∈N*），試證明{△an}是等差數列；
（Ⅱ）若數列{an}的首項a1=1，且滿足△2an-△an+1+an=-2n（n∈N*），令bn=
an
2n
，求數列{bn}的通項公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記cn=
a1(n=1)
2n-1
△an
(n≥2，n∈N*
，求證：c1+
c2
2
+…+
cn
n
＜
17
12
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于數列{an}，規定{△an}為數列{an}的一階差分數列，其中△an=an+1-an（n∈N*）；一般地，規定{△kan}為數列{an}的k階差分數列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an，且k∈N*，k≥2．
（Ⅰ）已知數列{an}的通項公式an=
5
2
n2-
13
2
n（n∈N*），試證明{△an}是等差數列；
（Ⅱ）若數列{an}的首項a1=1，且滿足△2an-an+1+an=-2n（n∈N*），求數列{an}的通項公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記bn=
a1(n=1)
2n-1
△an
(n≥2，n∈N*)
，求證：b1+
b2
2
+…+
bn
n
＜
17
12
．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

對于數列{an}，規定{△an}為數列{an}的一階差分數列，其中△an=an+1-an（n∈N*）；一般地，規定{△kan}為數列{an}的k階差分數列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an，且k∈N*，k≥2．
（Ⅰ）已知數列{an}的通項公式an=數學公式n2-數學公式n（n∈N*），試證明{△an}是等差數列；
（Ⅱ）若數列{an}的首項a1=1，且滿足△2an-an+1+an=-2n（n∈N*），求數列{an}的通項公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記bn=數學公式，求證：b1+數學公式+…+數學公式＜數學公式．

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科目：高中數學 來源：2011年四川省眉山市高考數學二模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

對于數列{an}，規定{△an}為數列{an}的一階差分數列，其中△an=an+1-an（n∈N*）；類似的，規定{△2an}為數列{an}的二階差分數列，其中△2an=△an+1-△an（n∈N*）．
（Ⅰ）已知數列{an}的通項公式an=3n2-5n（n∈N*），試證明{△an}是等差數列；
（Ⅱ）若數列{an}的首項a1=1，且滿足△2an-△an+1+an=-2n（n∈N*），令bn=，求數列{bn}的通項公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記cn=，求證：c1++…+＜．

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科目：高中數學 來源：2011年四川省眉山市高考數學二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

對于數列{an}，規定{△an}為數列{an}的一階差分數列，其中△an=an+1-an（n∈N*）；一般地，規定{△kan}為數列{an}的k階差分數列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an，且k∈N*，k≥2．
（Ⅰ）已知數列{an}的通項公式an=n2-n（n∈N*），試證明{△an}是等差數列；
（Ⅱ）若數列{an}的首項a1=1，且滿足△2an-an+1+an=-2n（n∈N*），求數列{an}的通項公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記bn=，求證：b1++…+＜．

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