【題目】如圖,在多面體中,平面
平面
.四邊形
為正方形,四邊形
為梯形,且
,
,
,
.
(1)求證:;
(2)求直線與平面
所成角的正弦值;
(3)線段上是否存在點
,使得直線
平面
若存在,求
的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)線段
上存在點
,使得
平面
,且
.
【解析】
(I)根據面面垂直的性質定理,證得平面
,由此證得
.(II)以
為
軸,
軸,
軸建立空間直角坐標系,通過計算直線
的方向向量和平面
的法向量,由此計算出線面角的正弦值.(III)設
,用
表示出
點的坐標,利用直線
的方向向量和平面
的法向量垂直列方程,解方程求得
的值,由此判斷存在符合題意的點
.
解:(Ⅰ)證明:因為為正方形,
所以.
又因為平面平面
,
且平面平面
,
所以平面
.
所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,平面
,所以
,
.
因為,所以
兩兩垂直.
分別以為
軸,
軸,
軸建立空間直角坐標系(如圖).
因為,
,
所以,
所以.
設平面的一個法向量為
,
則 即
令,則
,
所以.
設直線與平面
所成角為
,
則.
(Ⅲ)設,
設,則
,
所以,所以
,
所以.
設平面的一個法向量為
,則
因為,所以
令,則
,所以
.
在線段上存在點
,使得
平面
等價于存在
,使得
.
因為,由
,
所以,
解得,
所以線段上存在點
,使得
平面
,且
.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知直線的方程為
,
.
(1)若直線在
軸、
軸上的截距之和為-1,求坐標原點
到直線
的距離;
(2)若直線與直線
:
和
:
分別相交于
、
兩點,點
到
、
兩點的距離相等,求
的值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】近年電子商務蓬勃發展, 年某網購平臺“雙
”一天的銷售業績高達
億元人民幣,平臺對每次成功交易都有針對商品和快遞是否滿意的評價系統.從該評價系統中選出
次成功交易,并對其評價進行統計,網購者對商品的滿意率為
,對快遞的滿意率為
,其中對商品和快遞都滿意的交易為
次.
(1)根據已知條件完成下面的列聯表,并回答能否有
的把握認為“網購者對商品滿意與對快遞滿意之間有關系”?
對快遞滿意 | 對快遞不滿意 | 合計 | |
對商品滿意 | |||
對商品不滿意 | |||
合計 |
(2)為進一步提高購物者的滿意度,平臺按分層抽樣方法從中抽取次交易進行問卷調查,詳細了解滿意與否的具體原因,并在這
次交易中再隨機抽取
次進行電話回訪,聽取購物者意見.求電話回訪的
次交易至少有一次對商品和快遞都滿意的概率.
附: (其中
為樣本容量)
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某部門在同一上班高峰時段對甲、乙兩地鐵站各隨機抽取了50名乘客,統計其乘車等待時間(指乘客從進站口到乘上車的時間,乘車等待時間不超過40分鐘).將統計數據按分組,制成頻率分布直方圖:
假設乘客乘車等待時間相互獨立.
(1)在上班高峰時段,從甲站的乘客中隨機抽取1人,記為;從乙站的乘客中隨機抽取1人,記為
.用頻率估計概率,求“乘客
,
乘車等待時間都小于20分鐘”的概率;
(2)從上班高峰時段,從乙站乘車的乘客中隨機抽取3人,表示乘車等待時間小于20分鐘的人數,用頻率估計概率,求隨機變量
的分布列與數學期望.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某部門在同一上班高峰時段對甲、乙兩地鐵站各隨機抽取了50名乘客,統計其乘車等待時間(指乘客從進站口到乘上車的時間,乘車等待時間不超過40分鐘).將統計數據按分組,制成頻率分布直方圖:
假設乘客乘車等待時間相互獨立.
(1)在上班高峰時段,從甲站的乘客中隨機抽取1人,記為;從乙站的乘客中隨機抽取1人,記為
.用頻率估計概率,求“乘客
,
乘車等待時間都小于20分鐘”的概率;
(2)從上班高峰時段,從乙站乘車的乘客中隨機抽取3人,表示乘車等待時間小于20分鐘的人數,用頻率估計概率,求隨機變量
的分布列與數學期望.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知橢圓
的離心率為
,且過點
.
(1)求橢圓的方程;
(2)設點,點
在
軸上,過點
的直線交橢圓
交于
,
兩點.
①若直線的斜率為
,且
,求點
的坐標;
②設直線,
,
的斜率分別為
,
,
,是否存在定點
,使得
恒成立?若存在,求出
點坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】現擬建一個糧倉,如圖1所示,糧倉的軸截而如圖2所示,ED=EC,ADBC,BC⊥AB,EF⊥AB,CD交EF于點G,EF=FC=10m.
(1)設∠CFB=θ,求糧倉的體積關于θ的函數關系式;
(2)當sinθ為何值時,糧倉的體積最大?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C的中心在坐標原點,焦點在x軸上,左頂點為A,左焦點為,點
在橢圓C上,直線
與橢圓C交于E,F兩點,直線AE,AF分別與y軸交于點M,N
Ⅰ
求橢圓C的方程;
Ⅱ
在x軸上是否存在點P,使得無論非零實數k怎樣變化,總有
為直角?若存在,求出點P的坐標,若不存在,請說明理由.
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