Question

（13分）已知F₁、F₂是橢圓c₁：(a>b>0)的左、右焦點，A為右頂點，P為橢圓c₁上任意一點，且最大值的取值范圍是[c²,3c²]，c²=a²-b².（1）求橢圓c₁離心率e的取值范圍；（2）設雙曲線c₂以橢圓c₁焦點為頂點，頂點為焦點，B是雙曲線c₂在第一象限上任意一點，當橢圓c₁離心率e取得最小值時，問是否存在正常數λ使∠BAF₁=λ∠BF₁A恒成立？若存在，求出λ值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）（2）λ=2

解析:

（1）設P(x,y)，則，.∴，將代入得，0≤x²≤a²，當x²=a²時得，又c²≤b²≤3c²，即c²≤a²-c²≤3c²，∴.∴.

（2）當時，a=2c，b=，∴，A(2c,0).設B(x₀,y₀),(x₀,y₀>0)，則，當AB⊥x軸時，則，∴，故.由此猜想λ=2可使總成立，證明如下：

  當x₀≠2c時，，，∴,

將代入得.

又∵2∠BF₁A與∠BAF₁同在區間(0,)∪()內，∴2∠BF₁A=∠BAF₁.

故存在λ=2，使恒成立.