Question

（04年北京卷）(12分)

給定有限正數滿足條件T: 每個數都不大于50且總和L=1275.現將這些數按下列要求進行分組,每組數之和不大于150且分組的步驟是:

首先,從這些數中選擇這樣一些數構成第一組,使得150與這組數之和的差r₁與所有可能的其他選擇相比是最小的,r₁稱為第一組余差;

然后,在去掉已選入第一組的數后,對余下的數按第一組的選擇方式構成第二組,這時的余差r₂;如此繼續構成第三組(余差為r₃)、第四組（余差為r₄）、…，直至第N組（余差為r_N）把這些數全部分完為止。

(Ⅰ) 判斷r₁,r₂,…，r_N的大小關系，并指出除第N組外的每組至少含有幾個數；

(Ⅱ) 當構成n(n>N)組后，指出余下的每個數與r_n的大小關系，并證明

  ；

（Ⅲ）對任何滿足條件T的有限個正數，證明：N≤11。

Answer 1

解析: (Ⅰ) r₁≤r₂≤r_N. 除第N組外的每組至少含有個數.

(Ⅱ) 當第n組形成后,因為n<N,所以還有數沒分完,這時余下的每個數必大于余差r_n. 余下數之和也大于第n組的余差r_n,即 ,

由此可得

因為所以

(Ⅲ)用反證法證明結論. 假設N>11,即第11組形成后,還有數沒分完,由(Ⅰ)和(Ⅱ)可知,余下的每個數都大于第11組的余差r₁₁,且,

故  余下的每個數> r₁₁≥r₁₀>

因為第11組數中至少含有3個數,所以第11組數之和大于37.5×3=112.5.

此時第11組的余差r₁₁=150―第11組數之和<150―112.5=37.5,

這與(*)式中r₁₁>37.5矛盾,所以N≤11.(12分)