Question

【題目】如圖，在矩形中，，為的中點，現將與折起，使得平面平面，平面平面.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）二面角的平面角余弦值為.

【解析】

(1)過點作于,過點作于,連接,證明即可；

(2)以為原點,為軸,為軸,建立空間直角坐標系,求出平面的法向量,平面的法向量,計算即可.

解：（1）證明：過點作,垂足為,過點作于,連接,如圖所示；

∵平面平面,平面平面,∴平面,,

∴；

由題意知,

∴,

∴四邊形是平行四邊形,

∴；

又平面,平面,

∴平面；

（2）由已知,、互相垂直,以為原點,為軸,為軸,建立空間直角坐標系,如圖所示；

則,,,

,,

設平面的法向量為,

則,

即,

令,則,,

∴；

設平面的法向量為,則,

易求得；

又,

∴二面角的平面角余弦值為.