Question

如圖，設F(－c,0)是橢圓的左焦點，直線l：x＝－與x軸交于P點，MN為橢圓的長軸，已知|MN|＝8，且|PM|＝2|MF|。

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過點P的直線m與橢圓相交于不同的兩點A,B。
①證明：∠AFM＝∠BFN；
②求△ABF面積的最大值。

Answer 1

（Ⅰ）橢圓的標準方程為；（Ⅱ）①詳見解析；②．

試題分析：（Ⅰ）求橢圓的標準方程，只需利用待定系數法來求，由，知，由，得，將代入，可求出的值，從而得的值，由此能求出橢圓的標準方程．（Ⅱ）①證明：，只需證明即可，這是直線與二次曲線位置關系問題，可采用設而不求的方法，因此當的斜率為0時，，滿足題意．當的斜率不為０時，可設直線的方程為，代入橢圓方程得，設出，有根與系數關系，及斜率公式可得，從而得到．故恒有；②求△ABF面積的最大值，由圖可知，由基本不等式，能求出三角形ABF面積的最大值．
試題解析：（Ⅰ）∵|MN|＝8, ∴a＝4，                                 (1分)
又∵|PM|＝2|MF|，∴e＝，                     (2分)
∴c＝2,b²＝a²－c²＝12，
∴橢圓的標準方程為                   (3分)
（Ⅱ）①證明：
當AB的斜率為0時，顯然∠AFM＝∠BFN＝0，滿足題意；    (4分)
當AB的斜率不為0時，設AB的方程為x＝my－8，
代入橢圓方程整理得(3m²＋4)y²－48my＋144＝0.              (5分)
△＝576(m²－4),   y_A＋y_B＝,    y_Ay_B＝.
則
,
而2my_Ay_B－6(y_A＋y_B)＝2m·－6·＝0，       (7分)
∴k_AF＋k_BF＝0，從而∠AFM＝∠BFN.
綜合可知：對于任意的割線PAB，恒有∠AFM＝∠BFN.        (8分)
②方法一：
S_△ABF＝S_△PBF－S_△PAF         (10分)
即S_△ABF＝，    (12分)
當且僅當，即m＝±時（此時適合于△＞0的條件）取到等號。
∴△ABF面積的最大值是3.                             (13分)
方法二：

點F到直線AB的距離                 (10分)

，                    (12分)
當且僅當，即m＝±時取等號。       (13分)