Question

△ABC中，

m

=（sinA，cosC），

n

=（cosB，sinA），

m

•

n

=sinB+sinC．
（1）求證：△ABC為直角三角形；
（2）若△ABC外接圓半徑為1，求△ABC的周長的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積，結合正、余弦定理轉化為邊之間的關系，即可證得△ABC為直角三角形；
（2）設△ABC內角A、B、C所對邊的邊長分別是a、b、c，根據△ABC外接圓半徑為1，A=

π

2

，可得a=2，從而b+c=2（sinB+cosB）=2

2

•sin（B+

π

4

），故可求b+c的取值范圍，從而可求△ABC周長的取值范圍．

解答：（1）證明：∵

m

=（sinA，cosC），

n

=（cosB，sinA），

m

•

n

=sinB+sinC，
∴sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC．
∴由正弦定理得：acosB+acosC=b+c
由余弦定理得a•

a2+c2 -b2

2ac

+a•

a2+b2-c2

2ab

=b+c，
整理得（b+c）（a²-b²-c²）=0．
∵b+c＞0，
∴a²=b²+c²，故△ABC為直角三角形．
（2）解：設△ABC內角A、B、C所對邊的邊長分別是a、b、c．
∵△ABC外接圓半徑為1，A=

π

2

，∴a=2，
∴b+c=2（sinB+cosB）=2

2

•sin（B+

π

4

）．
∵0＜B＜

π

2

，∴

π

4

＜B+

π

4

＜

3π

4

，
∴2＜b+c≤2

2

，∴4＜a+b+c≤2+2

2

，
故△ABC周長的取值范圍為（4，2+2

2

]．

點評：本題考查向量的數量積，考查正、余弦定理的運用，考查三角函數的性質，正確運用正、余弦定理是解題的關鍵．