Question

【題目】設函數，.

（1）若恒成立，求的取值范圍；

（2）①若，試討論的單調性；

②若有兩個不同的零點，求的取值范圍，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①在單調遞減；②，理由見解析.

【解析】

（1）由得出，令，利用導數求出函數的最大值，進而可得出實數的取值范圍；

（2）①將代入函數的解析式，利用導數可求得函數的單調區間；

②由參變量分離法得出，構造函數，利用導數分析函數的單調性與極值，進而可求得實數的取值范圍.

（1），，則，

令，則，令，得.

當時，，此時函數單調遞增；

當時，，此時函數單調遞減.

，則，

因此，實數的取值范圍是；

（2）①當時，，則，

令，則，

當時，，此時函數單調遞增；

當時，，此時函數單調遞減.

，恒成立，即恒成立，

因此，函數在上單調遞減；

②由，得，得，

令，其中，則，

令，，

當時，，此時函數單調遞增；

當時，，此時函數單調遞減.

，，當，，

當時，，則；

當時，，則.

所以，函數在區間上單調遞增，在區間單調遞減，則，且當時，，

所以，.