Question

已知函數，（其中，），且函數的圖象在點處的切線與函數的圖象在點處的切線重合．

（Ⅰ）求實數a，b的值；

（Ⅱ）若，滿足，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）若，試探究與的大小，并說明你的理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先求出在點處切線方程為，再求出在點處切線方程為，比較兩方程的系數即可得，；（Ⅱ）根據題意可轉化成在上有解，令，只需，分類討論可求得實數m的取值范圍是；

（Ⅲ）令，再證函數在區間上單調遞增，當時，恒成立，即可得對任意，有，再證即可得證.

試題解析：（Ⅰ）∵，∴，則在點處切線的斜率，切點，則在點處切線方程為，

又，∴，則在點處切線的斜率，切點，則在點處切線方程為，

由解得，．    4分

（Ⅱ）由得，故在上有解，

令，只需．      6分

①當時，，所以；    7分

②當時，∵，

∵，∴，，∴，

故，即函數在區間上單調遞減，

所以，此時．

綜合①②得實數m的取值范圍是．   9分

（Ⅲ）令，．

令，則在上恒成立，

∴當時，成立，∴在上恒成立，

故函數在區間上單調遞增，∴當時，恒成立，

故對于任意，有．   12分

又∵，

∴．

∴，從而．… 14分 

考點：1.導數在函數中的綜合應用；2.存在性問題.