Question

對于實數x，定義[x]表示不超過x大整數，已知正數數列a_n滿足：a1=1，Sn=

1

2

(an+

1

an

)，其中S_n為數列a_n的前n項的和，則[

1

S1

+

1

S2

+…+

1

S100

]=（　�。�

• A、20
• B、19
• C、18
• D、17

Answer 1

分析：由題意已知正數數列a_n滿足：a1=1，Sn=

1

2

(an+

1

an

)，利用已知數列的前n項和求其S_n得通項，再求出S=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

S100

，利用不等式的性質簡單放縮即可．

解答：解：由于正數數列a_n滿足：a1=1，Sn=

1

2

(an+

1

an

)=

1

2

 [(Sn-Sn-1)+

1

Sn-Sn-1

]，
?Sn+Sn-1=

1

Sn-Sn-1

?S_n²=S_n-1²+1，
因為S1=a1=1，所以，Sn2=n  ，由于各項為正項，所以Sn=

n

，
故

n

+

n-1

＜2

n

＜

n+1

+

n

，

1

n+1 + n

=

n+1

-

n

＜

1

2 n

＜

1

n + n-1

=

n

-

n-1

，
令S=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

S100

，則

S

2

＞ 

101

-1＞9?S＞18，
又因為S₁=a₁=1，
所以

S

2

=

1

2S2

+…+

1

2S100

＜

100

-1=9，

1

S1

=1，故s＜19，
從而[S]=18．
故選：C

點評：此題考查了數列的已知數列前n項的和求通項，不等式的性質，不等式的簡單放縮，及學生理解題意的能力和計算能力．