已知
（1）求函數
在
上的最小值；
（2）對一切
恒成立，求實數
的取值范圍；
（3）證明：對一切
，都有
成立.
(1)
;（2）
；（3）詳見解析
解析試題分析：（1）先求
的根得
，然后討論與定義域
的位置，分別考慮其單調性，因為
，故只有兩種情況①
，此時
0，最小值為
；②
，此時
遞減，
遞增，故最小值為
；（2）將不等式參變分離得，
，記函數
，只需求此函數的最小值即可；（3）證明
，一般可構造差函數或商函數，即
，或
（需考慮
的符號），然后只需考慮函數
的最值，如果上述方法不易處理，也可說明
，雖然這個條件不是的等價條件，但是有此條件能充分說明成立，該題可以先求先將不等式恒等變形為
，然后分別求
的最小值和函數
的最大值即可.
試題解析：（1）由已知知函數的定義域為
，
，
當
單調遞減，當
單調遞增.
①當
時，沒有最小值；
②當
，即
時，
；
③當
即
時，在上單調遞增，
；
（2）
，則，
設，則
，
①
單調遞減，②
單調遞增，
，對一切
恒成立，
.
（3）原不等式等價于，
由（1）可知的最小值是
，當且僅當時取到，
設
，則
，
易知
，當且僅當
時取到，
從而對一切
，都有
成立.
考點：1、導數在單調性方面的應用；2、利用導數求函數的最值.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
，
（
）
（Ⅰ）若函數
存在極值點，求實數
的取值范圍；
（Ⅱ）求函數
的單調區間；
（Ⅲ）當
且
時，令
，
(
)，
(
)為曲線
上的兩動點，O為坐標原點，能否使得
是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上？請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)的導函數為f ′(x)，且對任意x＞0，都有f ′(x)＞
．
（Ⅰ）判斷函數F(x)＝在(0，＋∞)上的單調性；
（Ⅱ）設x1，x2∈(0，＋∞)，證明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；
（Ⅲ）請將（Ⅱ）中的結論推廣到一般形式，并證明你所推廣的結論．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
若函數
滿足：在定義域內存在實數
，使
(k為常數)，則稱“f（x）關于k可線性分解”．
（Ⅰ）函數
是否關于1可線性分解?請說明理由；
（Ⅱ）已知函數
關于
可線性分解，求的取值范圍；
（Ⅲ）證明不等式：
．
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，
的解集是
，求
的值；
，解關于
的不等式
.
，其中
.
，求曲線
在點
處的切線方程；
有三個零點，求
的取值范圍.
（
均為正常數），設函數
在
處有極值.
，不等式
總成立，求實數
的取值范圍；
上單調遞增，求實數
的取值范圍.
（
均為正常數），設函數
在
處有極值.
，不等式
總成立，求實數
的取值范圍；
上單調遞增，求實數
的取值范圍.
. 
，
；
時，
，求
的取值范圍.