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設平面內的向量
OA
=(-1，-3)，
OB
=(5，3)，
OM
=(2，2)，點P在直線OM上，且
PA
•
PB
=16．
（Ⅰ）求
OP
的坐標；
（Ⅱ）求∠APB的余弦值；
（Ⅲ）設t∈R，求|
OA
+t
OP
|的最小值．
（Ⅰ）設
OP
=(x，y)．
由點P在直線OM上，可知
OP
與
OM
共線．
而
OM
=（2，2），
所以2x-2y=0，即x=y，有
OP
=(x，x)．
由
PA
=
OA
-
OP
=(-1-x，-3-x)，
PB
=
OB
-
OP
=(5-x，3-x)，
所以
PA
•
PB
=(-1-x)(5-x)+(-3-x)(3-x)，
即
PA
•
PB
=2x2-4x-14．
又
PA
•
PB
=16，所以2x2-4x-14=16．
可得x=5或-3．
所以
OP
=(5，5)或（-3，-3）．…（4分）
當
OP
=(5，5)時，
PA
=(-6，-8)，
PB
=(0，-2)滿足
PA
•
PB
=16，
當
OP
=(3，3)時，
PA
=(-4，-6)，
PB
=(2，0)不滿足
PA
•
PB
=16，
所以
OP
=(5，5)
（Ⅱ）由
PA
=(-6，-8)，
PB
=(0，-2)，
可得|
PA
|=10，|
PB
|=2．
又
PA
•
PB
=16．
所以cos∠APB=
PA
•
PB
|
PA
|•|
PB
|
=
16
10×2
=
4
5
．…（8分）
（Ⅲ）
OA
+t
OP
=(-1+5t，-3+5t)，|
OA
+t
OP
|=
50t2-40t+10
．
當t=
2
5
時，|
OA
+t
OP
|的最小值是
2
．　　　　　　　　　…（12分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設平面內的向量
OA
=(-1，-3)，
OB
=(5，3)，
OM
=(2，2)，點P在直線OM上，且
PA
•
PB
=16．
（Ⅰ）求
OP
的坐標；
（Ⅱ）求∠APB的余弦值；
（Ⅲ）設t∈R，求|
OA
+t
OP
|的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設平面內的向量
OA
=(1，7)，
OB
=(5，1)，
OM
=(2，1)，點P是直線OM上的一個動點，且
PA
•
PB
=-8，求
OP
的坐標及∠APB的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設平面內的向量
OA
=(1，7)，
OB
=(5，1)，
OM
=(2，1)，點P是直線OM上的一個動點，求當
PA
•
PB
取最小值時，
OP
的坐標及∠APB的余弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設平面內的向量
OA
=(1，7)，
OB
=(5，1)，
OM
=(2，1)，點P是直線OM上的一個動點，求當
PA
•
PB
取最小值時，
OP
的坐標及∠APB的余弦值．

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