Question

一個多面體的三視圖及直觀圖如圖所示：

(Ⅰ)求異面直線AB₁與DD₁所成角的余弦值：

(Ⅱ)試在平面ADD₁A₁中確定一個點F，使得FB₁⊥平面BCC₁B₁；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，求二面角F―CC₁―B的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解；依題意知，該多面體為底面是正方形的四棱臺，且D1D⊥底面ABCD． 　　AB＝2A1B1＝2DD1＝2a　　2分 　　以D為原點，DA、DC、DD1所在的直線為X，Y，Z軸， 　　建立如圖所示的空間直角坐標系，則D(0，0，0)， 　　A(2a，0，0)，B1(a，a，a)，D1(0，0，a)， 　　B(2a，2a，0)，C(0，2a，0)，C1(0，a，a)　　4分 　　(Ⅰ) 　　 　　即直線AB1與DD1所成角的余弦值為　　6分 　　(Ⅱ)設F(x，0，z)， 　　 　　由FB1平面BCC1B1得 　　即　得即F為DA的中點　　9分 　　(Ⅲ)由(Ⅱ)知FB1為平面BCC1B1的法向量． 　　設為平面FCC1的法向量． 　　由　即令y1＝1得x1＝2，z1＝1 　　 　　即二面角F―CC1―B的余弦值為　　12分