Question

已知函數f（x）=e^x
（Ⅰ） 函數f（x）在點P（x₀，f（x₀））處的切線過原點，求此切線方程；
（Ⅱ） 函數g（x）=e^x-kx+k-e，是否存在實數k，使g（x）≥0對任意的x∈R都成立？若有求出所有滿足條件的k的值，若沒有，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）切線斜率k=f'（x₀），用點斜式可表示出切線方程，代入點（0，0）可得x₀=1，從而可得切線方程；
（Ⅱ）g（x）≥0對任意的x∈R都成立，等價于g（x）_min≥0，分k≤0，k＞0兩種情況討論，利用導數可求得g（x）_min，再構造函數利用導數研究函數的單調性，由單調性可求得k值；

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=e^x，切線斜率k=ex0，
點P（x₀，f（x₀））處的切線方程為y-ex0=ex0(x-x0)，
把點（0，0）代入得x₀=1，
故此切線方程為y=ex；
（ II） g'（x）=e^x-k，
①當k≤0時，g'（x）＞0，g（x）遞增，∵g（1）=0，不滿足g（x）≥0對任意的x∈R恒成立．
②當k＞0時，有g'（x）=0得，x=lnk，
當x∈（-∞，lnk）時，g'（x）＜0，g（x）遞減，當x∈（lnk，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）遞增，
∴g（x）≥g（lnk）=2k-klnk-e≥0恒成立，
令φ（x）=2x-xlnx-e，（x＞0），則φ'（x）=1-lnx，
當x∈（0，e）時，φ'（x）＞0，?（x）遞增，當x∈（e，+∞）時，φ'（x）＜0，?（x）遞減，
∴φ（x）≤φ（e）=0，∴k=e．

點評：本題考查導數的幾何意義、利用導數研究函數的最值及恒成立問題，考查轉化思想，恒成立問題常轉化為函數的最值問題解決．